Numerikus Módszerek II.
(2022-2023, őszi félév)

Utolsó módosítás:

 

Előadás

Jegyzet: Gergó Lajos: Numerikus módszerek (Eötvös kiadó)
Példatár: Bozsik József, Krebsz Anna: Numerikus módszerek példatár
Idopont és hely: Csütörtök 8:15-9:00 :: Déli Tömb 0-821 Bolyai terem

  • 1. előadás: A polinom interpoláció feladata. A határozatlan együtthatók módszerével felírt Vandermonde mátrixú LER. Rosszul kondícionált! Előállítás Lagrange alakkal: az interpolációs polinom Lagrange alakja, a Lagrange alappolinomok. Polinom interpoláció hibabecslése. Az interpolációs polinom Newton alakja, az osztott differenciák fogalma. Polinom interpoláció hibabecslések. PDF ITT
  • 2. előadás: Csebisev polinomok (definíció, rekurzió, Csebisev-tétel), az interpoláció hibája [-1,1]-en és [a,b]-n, az interpolációs polinomok konvergenciája, inverz interpoláció. PDF ITT
  • 3. előadás: Hermite-interpoláció (alapfeladat, létezés és egyértelmuség), Hermite-interpoláció hibája, speciális esetek, az Hermite-interpolációs polinom Newton-alakja (egyszeru gyakorlati példa) PDF ITT
  • 4. előadás: Spline interpoláció (interpolációs spline, spline megadása intervallumonként, klasszikus peremfeltételek) PDF ITT
  • 5. előadás: Spline interpoláció (globális spline bázis, Jobb oldali hatványfüggvény) PDF ITT
  • 6. előadás: B-Spline interpoláció (B-spline-ok, spline eloállítása B-spline-okkal, spline eloállítása B-spline-okkal egyenletes felosztás esetén, hibabecslések) PDF ITT
  • 7. előadás: Szinguláris felbontás (szinguláris felbontás, szinguláris értékek, alkalmazási területei, Eckart–Young-tétel - Az eloadáson bemutatott két példa pedig itt és itt tekintheto meg) Általánosított inverz (általánosított inverz fogalma és eloállítása, az általánosított inverz approximációs tulajdonsága, legkisebb négyzetek módszere) PDF ITT
  • 8. előadás: Hilbert térbeli approximáció (Hilbert tér, példák Hilbert térre, approximációs tétel, ortogonális polinomok, klasszikus ortogonális polinomok) PDF ITT
  • 9. előadás: Numerikus integrálás (interpolációs kvadratúra formula, tétel a pontosságról, kvadratúra formulák típusai, Newton-Cotes zárt és nyílt formulák, Érinto formula NY(0), Trapéz formula Z(1), Simpson formula Z(2)), hibaformulák, összetett formulák, összetett formulák hibája) PDF ITT


Gyakorlat

Időpontok és helyszínek

  • Csütörtök 16:00-17:30 :: Déli Tömb 0-311 König terem
  • Csütörtök 17:45-19:15 :: Déli Tömb 0-311 König terem

Előfeltétel:
  • Analízis I.
  • Lineáris algebra
  • Numerikus módszerek I.

Természetesen a fenti előfeltételek erős előfeltételek.
A gyakorlatokon kötelező a részvétel!

 Tematika:
 Ebben a félévben a numerikus analízis alapvetéseivel fogunk megismerkedni. De miért is fontos ez: Az alkalmazott matematikában leggyakrabban nem elégszünk meg azzal, hogy tudjuk (belátjuk), a vizsgált problémának létezik megoldása, hanem meg is akarjuk annak számszerű értékét határozni. Ehhez nyújtanak segítséget a numerikus módszerek.

A félévben az alábbi témaköröket tekintjük át:
A polinom interpoláció. Lagrange és Newton alak. Hermite interpoláció. Spline interpoláció (intervallumonként és B-spline-okkal). Mátrix szinguláris felbontása. Az általánosított inverz és általánosított megoldás. Legkisebb négyzetek módszere. Ortogonális polinomok. Numerikus integrálás. Newton-Cotes formulák (érintő-, trapéz- és Simpson formula, összetett formulák). Csebisev és Gauss típusú kvadratúrák.

  • 1. gyakorlat: Motiváció az interpolációhoz
    Számtalan alkalmazási területe van az interpolációnak, de egy képfeldolgozási példa szemléletesen mutatja be, hogy milyen jól használható a legegyszerűbb lineáris interpoláció is.
    Az alábbi képet összefirkáltuk: lena_inpaint.bmp
    Az összefirkált képből egy egyszerű lineáris interpolnáció utáni a következő eredményt kaptuk: reconstructed_lena.bmp
    A megvalósítás egy egyszerű matlab kód segítségével történt, melyet innen letölthettek: inpaint.m
    Példatár letölthető innen!

    Polinom interpoláció I.
    A polinom interpoláció feladata. A határozatlan együtthatók módszerével felírt Vandermonde mátrixú LER. Rosszul kondícionált!
    Előállítás Lagrange alakkal: az interpolációs polinom Lagrange alakja, a Lagrange alappolinomok. Az interpolációs polinom Newton alakja, az osztott differenciák fogalma. Polinom interpoláció hibabecslések.

  • 2. gyakorlat: Polinom interpoláció II.
    Lagrange és Newton alak gyakorlása és polinom interpoláció hibabecslések. Csebisev polinomok, minimális hibájú interpolációs polinom. Hermite-féle interpoláció. Hermite-féle interpoláció és hibája (hibabecslés az intervallumra és egy adott pontra).


Pluszpontok:
 A félév során az adott zh-ig kiírt házi feladatok megoldására plusz pontokat lehet kapni, maximum 5 pontot zh-nként és az egész félévre maximum 10 pontot. Ezek a pontok beleszámítanak a gyakorlati jegybe, de annak nem feltételei, tehát a legalább elégségeshez szükséges pontokat a zh-ból kell megszerezni a házi feladatokkal nem lehet elégtelen zh-t javítani. További megkötés, hogy a 3-ik zh-ra már nem lehet házi feladatokat beadni. A házi feladatok beadásának a határideje mindig az adott zh, ezután már nem áll módunkban házi feladatot elfogadni.

 Házi feladatok:


Számonkérés:
 Az első két zárthelyi megírása kötelező, aki valamelyiken, vagy egyiken sem vesz részt, annak automatikusan érvénytelen a féléve, vagyis nem kap gyakjegyet. A harmadik megírása csak azok számára kötelező, akiknek nincs érvényes gyakorlati jegye az első kettő alapján (a szerzett pontszám nem éri el az elégséges ponthatárt, vagyis külön-külön az zh-k nem érik el az elégségest). Elégtelen(1) a gyakorlati jegye annak, aki mindkét zh-t elégtelenre írta meg. Ha csak az egyik zh elégtelen, akkor pótZH-t kell írni abból az anyagrészből, melyből elégtelen lett a zh. Ha mind a 2 zh elégtelen lett, akkor gyakUV-t kell írni, mely egyetlen dolgozat (mind a 2 zh anyagát számonkéri). Azok akiknek valamelyik, vagy mindkét zh-juk elégtelen lett és ezáltal javító zh-t vagy gyakUV-t írnak, azok gyakorlati jegye legfeljebb elégséges(2) lehet függetlenül a javító zh-n vagy gyakUV-n nyújtott teljesítményüktől. Két nem elégtelen zh-t csak a gyakorlatvezető beleegyezésével lehet javítani, aki meghatározza, hogy mely anyagrészből kell javítania. A gyakorlati jegy a két zh összpontszáma alapján kerül meghatározásra, amennyiben azok külön-külön legalább elégségesek.


Általánosan a ZH-ról:
 Mind a 2 zh csoport zh, a zh-kra 90 perc áll mindenkinek a rendelkezésére. A zh-ban lesz elméleti és gyakorlati rész. A zh 6 feladatból áll, amelyek közül várhatóan 2 feladat lesz elméleti (tétel, definíció), a maradék rész pedig gyakorlati. A zh elméleti részében nem várható bizonyítás. Nincs minimum elvárás a zh-ban külön az elméletre és külön a gyakorlatra, az összpontszámnak kell az elégséges(2) ponthatárát elérnie.
Lehetséges elméleti kérdések a zh-ban: Kérdések


Csoport zh-k tervezett időpontjai:

  • 1. ZH: 2022. október 27. (csütörtök) a gyakorlat helyén és idejében.
  • 2. ZH: 2022. november 24. (csütörtök) a gyakorlat helyén és idejében.
  • Pót ZH: 2022. december 1. (csütörtök) a gyakorlat helyén és idejében.


ZH ponthatárok:

  • 42-50: jeles(5)
  • 34-41: jó (4)
  • 26-33: közepes (3)
  • 18-25: elégséges (2)
  • 0-17: elégtelen (1)


Gyakorlati jegy ponthatárok:

  • 83-100: jeles(5)
  • 67-82: jó (4)
  • 51-66: közepes (3)
  • 36-50: elégséges (2)
  • 0-35: elégtelen (1)


Mindenkinek jó tanulást és eredményes félévet kívánok!