1.6Példák
Előző 1. fejezet - Alapfogalmak  Következő

1.6Példák

1.1. példa: Írjuk fel az , , , és halmazok elemeit, ha !

Megoldás:

1.2. példa: Legyen .

Megoldás:

  1. ,

    .

  2. A reláció nem determinisztikus, ugyanis pl. ! Mivel a reláció nem determinisztikus, függvény sem lehet.

  3. A reláció hatványa az identikus leképezés, azaz:

    Mivel , azt kell megvizsgálnunk, hogy mely pontokból hogyan lehet a relációt egymás után kétszer alkalmazni:

    A fenti táblázat alapján:

    a reláció inverzének definíciója alapján:

  4. Írjuk fel, hogy mit rendel a reláció az értelmezési tartomány egyes pontjaihoz:

    Az inverz kép definíciója alapján:

    Az őskép definíciója alapján:

1.3. példa: Megadható-e valamilyen összefüggés egy halmaz inverz képének képe, és a halmaz között?

Megoldás: Legyen , . Ekkor

Vegyük észre, hogy általános esetben nem tudunk mondani semmit a két halmaz viszonyáról, ugyanis

  1. ha , akkor és

  2. ha , akkor .

Tekintsük e fenti esetet egy egyszerű számpéldán: Legyen , . Ekkor esetén , azaz egyik irányú tartalmazás sem áll fenn.

1.4. példa: Legyen , . Hogyan lehetne jellemezni az és az halmazt az és halmaz segítségével?

Megoldás:

A másik irányú tartalmazás azonban nem áll fenn, ugyanis lehet olyan amelyre

Nézzük ezt egy számpéldán: Legyen , , , . Ekkor és üres, de

Vizsgáljuk most meg a metszetet!

Tehát bebizonyítottuk, hogy két tetszőleges halmaz metszetének ősképe egyenlő a két halmaz ősképének metszetével.

1.5. példa: Legyenek . Igaz-e, hogy

Megoldás:

1.6. példa: Legyenek . Igaz-e, hogy

Megoldás:A szigorú kompozíció definíciójából azonnalal adódik, hogy ha és , akkor , ezt felhasználva:

1.7. példa:  . , ahol . . Az sorozat további elemeit úgy kapjuk meg, hogy a pontok koordinátáit az első koordinátával kezdve ciklikusan 1-gyel növeljük. ?

Megoldás: Írjuk fel először a sorozat első néhány tagját:

Az sorozat projekciója -ra:

A fenti sorozat redukáltja:

A fentiekből jól látható, hogy a redukció pontosan azokat az elemeket hagyja ki a sorozatból, amelyekben a növelés a második komponensben történt, így az eredménysorozat elemeit is a koordináták ciklikus eggyel növelésével kapjuk meg, az pontból kiindulva.

1.8. példa: Legyen és . . Mi lesz lezártja és korlátos lezártja?

Megoldás:Mivel , azt kell csak megvizsgálni, hogy honnan jutunk el biztosan a reláció ismételt alkalmazásával -be. és , ezért , a sem, mert a -ból akárhányszor eljuthatunk -ba, -ből egy lépésben, -ből nulla lépésben jutunk -be. Tehát és .

1.9. példa: 

. . . írjuk fel a reláció feltételre vonatkozó lezártját!

Megoldás: . Az kimaradt a szűkítés miatt, a pedig bekerült a bővítés miatt. .

1.10. példa: Van-e olyan nem üres reláció és feltétel, hogy a reláció lezártja üres halmaz, és a feltételre vonatkozó lezártja azonos a relációval?

Megoldás:Legyen tetszőleges halmaz. Nyilván . Ha , , aminek a lezártja .

1.11. példa:  .

Mi az reláció lezártja és korlátos lezártja?

Megoldás: . Miden -hoz, ha páros a reláció lépésben hozzárendeli a -t és csak azt, ha pedig páratlan, az -et, aminek a képe az összes páros kettőhatvány. A kettőhatványokból, mivel mind páros, az ismételt alkalmazása -ba vezet. Tehát , és természetesen .

Mivel nincs felső korlátja a kettőhatványoknak, ezért nem tartalmazza a páratlan számokat.

Megjegyezzük, hogy ha a feladatban helyett szerepelne, sem tartalmazná a páratlan számokat.

Előző Fel Következő
1.5Függvényterek Tartalom 1.7Feladatok