Az alábbiakban következő tételcsoport a megoldás és a kiterjesztések közötti kapcsolatot vizsgálja.

Ha van egy állapottér, aminek altere, a -n definiált feladatok és programok megfelelői -n, a feladatok és programok kiterjesztései -ra. Az -n definiált feladat megfelelőjének a -n tekinthetjűk a feladat vetületét -re. A programok esetében ez közvetlenül nem alkalmazható, mivel a program vetülete nem biztos, hogy program. Nem biztos hogy a sorozatok redukáltak. Természetesen, ha program, akkor az

már program és a állapottéren és ekvivalens. Tehát egy programhoz mindíg található olyan program, ami vele ekvivalens -n.

Ilyen módon, ahogy ábra is mutatja, a kiterjesztés és a vetítés segítsével kapcsolatot létesítünk az és állapottereken definiált programok között.

Természetesen általában sok olyan feladat van -n, aminek a vetülete , ilyen például az kiterjesztése, de nem csak az. Tehát az ábrán fölfelé mutató nyilak injektív megfeleltetések, a lefelé mutatók pedig szürjektívek.

Megjegyezzük még, hogy , vagyis egy olyan feladat, aminek a vetülete , mindíg része kiterjesztésének. Ugyanez a programok(programfüggvények) esetében nem igaz.

Megvizsgáljuk, hogy milyen esetekben következtethetünk az állapottéren fennálló megoldásból, ugyanerre a állapottéren és fordítva. Ahhoz, hogy a feltételeket megfogalmazhassuk szükségünk lesz néhány definícióra.

Ha egy feladat bővített identitás, az azt jelenti, hogy a feladat "megengedi", hogy a kiegészítő altérbeli komponensek változatlanok maradjanak. Könnyű látni a definíciók alapján, hogy egy feladat kiterjesztése is és egy program kiterjesztésének a programfüggvénye is bővített identitás.

A vetítéstartás nem jelenti azt, hogy a reláció nem nem függ a kiegészítő altér komponenseitől, hiszen mint az ábra mutatja, két azonos vetületű pont képe lehet kűlönböző, csak a vetületük azonos. Ebben az esetben is igaz, hogy egy feladat kiterjesztése vetítéstartó( ebben az esetben a képek is megegyeznek) és a program kiterjesztése, és így a kiterjesztés programfüggvénye is vetítéstartó.

A félkiterjesztés szemléletes jelentése, hogy s kiégészítő altér felől nézve az értelmezési tartományban nincsenek "lyukak". Most is igaz, hogy egy feladat kiterjesztése a feladat értelmezési tartománya fölött félkiterjesztés. Ugyancsak igaz, hogy a program kiterjesztésének programfüggvénye az eredeti programfüggvény értelmezési tartománya fölött félkiterjesztés.

Az imént bevezetett definíciók segítségével kimondhatók azok az állítások, amelyek a kiterjesztések és a projekció valamint a megoldás közötti kapcsolatot vizsgáló tételcsoportot alkotják. A jelölések az ábrának megfelelőek. 4.1. TéTEL: KITERJESZTéSI TéTELEK Legyen altere -nak, a kiegészítő altere -ra, program -n, feladat, illetve -nek illetve -nek a kiterjesztése -ra. Legyen továbbá olyan feladat, melyre , és pedig olyan program, amely ekvivalens -sel -n. Ekkor az alábbi állítások teljesülnek:

Bizonyítás: Mielőtt sorra bizonyítanánk az egyes tételeket, vegyük észre, hogy a (4) tételből következik az első három, hiszen ekvivalens -sel -n és vetítéstartó, illetve és félkiterjesztés -en. Hasonló meggondolások alapján a (6) tételből is következik az (5) tétel, hiszen bővített identitás felett és vetítéstartó felett. Elegendő tehát a (4), (6), és (7) tételeket bizonyítani.

Tekintsük először a (4) tétel bizonyítását: Legyen tetszőleges. Ekkor

tehát , s így a megoldás első kritériumának teljesülését bebizonyítottuk. Tekintsük most a második kritériumot: legyen tetszőlegesen rögzített. Ekkor

Az a. esetben, azaz ha vetítéstartó, akkor -ra . Ekkor tetszőleges esetén, mivel a megoldás definíciója miatt ,

Tehát a megoldás második feltétele is teljesül.

A b. esetben, azaz ha félkiterjesztés, akkor , azaz és a megoldás definíciója miatt

tehát

és ezzel ebben az esetben is beláttuk, hogy az program megoldja az feladatot.

Nézzük most a (6) tétel bizonyítását.

Most már csak a (7) állítás bizonyítása van hátra:

Ezzel a (7) állítást is bebizonyítottuk. __