Szimuláció vs. matematikai modellezés

Figyelemre méltó, ahogyan növekszik a program bonyolultsága a modell-világ idealizációjának csökkenésével. Ugyanis a modellezés hagyományos, szintén univerzális eszköze: a matematika, csak lényeges bonyolódások árán tudja követni a modellel szembeni feltevéseink csökkentését, míg a programozás alapú nem. Jól ismert a populáció-genetika, következő, valóságot egyre jobban megközelítő modellsorozata. Legyenek a modell objektumai a genetikai információt hordozó gének, amelyek a populáció egyedeit testesítik meg. A génekre ható erők jelentik a törvényszerűségeket, amiket egyre közelítünk a valóságoshoz. Így a modellcsalád tagjai a következő szabályokkal lesznek felvértezve (több témavonulattal):

Mutáció	Szelekció	Génáramlás
M1. egy-lokuszos, két-allélos, egyirányú mutáció ¯	Sz1. nemfüggetlen, fenotípusosan ható (pl. …) ¯	Á1. imigráció ¯
M2. egy-lokuszos, két-allélos, kétirányú mutáció ¯	Sz2. nemtől függő (nemi kromoszómás) rátermettség, genotípusosan ható (pl. … betegség) ¯	Á2. emigráció ¯
M3. egy-lokuszos, sok-allélos, kétirányú mutáció	Sz3. sok-lokuszos, additív tulajdonság (pl. magasság)	Á3. kétirányú migráció

Mindegyikhez társuló további kérdés: a vizsgált hatóerő folytonosan és változatlan jellemzőkkel működik, vagy adott időnként, esetleg adott függvény szerint változva az időben. Biológiai szempontból további vizsgálandó: a genetikai sodródás, azaz a populáció genetikai elszegényedésének jelensége a központi hatóerő függvényében. És ami igazán érdekessé teszi: hogyan hatnak együttesen a populáció genotípusainak arányaira.

Könnyű belátni, hogy pl. a mutációs M1 modell matematikai vizsgálata esetén egy lineáris differenciálegyenlettel adható meg. (Némi gondolkozás árán a differenciálegyenlet megoldása helyett közvetlenül is megkaphatjuk a megoldásként szolgáló exponenciális függvény képletét.)

Feltételek, jelölések:

· A, B a két allél

· Kellően nagy méretű populáció

· P(A®B)=m generációnkénti átalakulás valószínűsége, és m(t)=konstans

· DN=0, azaz a populáció mérete változatlan

Ekkor az állapotváltozás egyenlete:

Azaz az M1 modell megoldása az ún. kezdeti érték problémára vezet.

1. ábra: Egy irányú mutáció matematikai modellje (M1)

Az M2-M3 modellezése lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldását kívánja. Persze ha megelégszünk az egyensúlyi állapot meghatározásával, akkor egy egyenlet megoldása is célhoz vezet.

Feltételek, jelölések:

· A, B a két allél

· Kellően nagy méretű populáció

· P(A®B)=m, P(B®A)=n generációnkénti átalakulás valószínűsége, és m(t),n(t)=konstans

· DN=0, azaz a populáció mérete változatlan

Ekkor az állapotváltozás egyenlete:

, .

Az egyensúly feltétele:

Bevezetve az össz-egyedszámra: , kapjuk a megoldást .

2. ábra: Két- irányú mutáció matematikai modellje (M2)

A modell kezelhetőségébe roppant nagy változás áll be, amint a populáció mérete kicsinyre csökken, vagy a rendszerre ható erők a modellparaméterek egyikét-másikát nem „konstans módon”, hanem valamilyen függvény szerint, pláne ha nem valamely „szép”, folytonos függvény által leírhatóan változtatja. A leszűkült populációs méret a sodródás jelenségét hozza be, s az eleddig elvárttól totálisan eltérő eredményre is vezethet. Ennek leírása már valószínűségszámítási eszközöket igényel. A mutációs nyomás modelljét lazítva az említett paraméterfüggvénnyel már csak az ún. születési-halálozási folyamatok (a sztochasztikus folyamatok egyik speciális folyamatának az) eszköztárával formalizálhatjuk. A paraméterfüggvények kezelhetőségét növelendő, generációs lépésközönként téve változóvá (azaz az értelmezési tartományát N-né „barátságosítva”) jutunk el a Markov-láncokhoz, egy újabb matematikai formalizmushoz.

Ha az előbb említett matematikai modellek mellé tettük volna a szimulációs program lényegi magját, akkor megállapíthattuk volna:

1. az első programmag némileg hosszabb, hiszen itt kell az alapokat felépíteni,

2. a továbbiak bonyolódása azonban minimális, még az összeépítésre is egyfajta linearitás jellemző.