Elemi modelleket fogunk létrehozni, amelyek alapján fizikai, kémiai, biológiai modelleket készíthetünk. Ezekben a modellekben egy vagy két populációban az egyedszám növekedésével vagy csökkenésével kapcsolatos elemi változások hatását vizsgáljuk. A 3. fejezetben megmutattuk, hogyan kell választani egy eseményt egy valamilyen eseményrendszerből. Az 5. fejezetben megállapítottuk, hogy szimulációs programjaink valamilyen objektumosztályok változását fogják lejátszani. Eseménynek egy objektum változását fogjuk nevezni (pl. molekula elbomlik, élőlény meghal stb.). Ismeretünk ezen események valószínűségeire vonatkozik. Ebben a fejezetben azt vizsgáljuk, hogy folytonos modellek esetén hogyan lehet kiválasztani azt az elemet, amellyel valami történni fog a szimulációs lépésben. A választás módjától függően e modellek más-más típusú eredményt fognak adni.
Szabályok
Két populációval foglalkozunk, megadhatjuk mindkét fajta egyed születésének (keletkezés) és halálozásának (megszűnés) szabályait (a két populáció stratégiáit). A leggyakoribb stratégia-típusok:
S0 - indifferens stratégia
A születések (halálozások) gyakorisága független a populáció létszámától.
S+ - konform stratégia
A születések (halálozások) gyakorisága arányos a populáció létszámával. (Nem feltétlenül lineáris!) Születés esetén létszámingadozást erősítő, halálozás esetén stabilizáló szerepe van az ilyen stratégiának.
S- - kontra stratégia
A születések (halálozások) gyakorisága fordítottan arányos a populáció létszámával. Születés esetén stabilizáló, halálozás esetén ingadozást erősítő hatása van a kontra stratégiának.
Ezek csak bizonyos környezeti feltételek esetén igazak!
S0 szabály születésre:
1. Legyen a vizsgált populáció a talajban levő vízcseppek halmaza! Egy vízcsepp akkor születik, ha egy esőcsepp esik a talajra. Ez nyilvánvalóan független a talajban levő víz mennyiségétől.
2. Legyen a vizsgált populáció egy csillagban keletkező héliumatomok halmaza! Héliumatomok a hidrogénatomok fúziójával „születhetnek”. Ez – bizonyos határok között – független a héliumatomok számától, csak a fúzió sebességétől függ.
S0 szabály a halálozásra:
1. Vizsgáljunk egy égési folyamatot oxigénszegény környezetben állandó oxigén-utánpótlással! A populáció az égő anyag molekuláiból álljon, egy molekula halála pedig jelentse a molekula elégését! Az égés sebessége (a halálozások száma) ekkor nem az égő anyag mennyiségétől fog függni, hanem az oxigén-utánpótlástól.
2. A vizsgált populáció legyen a talajban levő vízcseppek halmaza. Egy vízcsepp akkor tud „meghalni”, ha elpárolog a talajból. Bizonyos határok között a párolgás sebessége nem a vízcseppek számától függ, hanem a talaj és a levegő hőmérsékletétől stb.
3. A vizsgált folyamat legyen a víz bontása elektrolízissel! Egy vízmolekula megszűnése így az oxigénre és hidrogénre bomlást jelenti. Ennek a sebessége pedig nem függ attól, hogy mekkora vízmennyiséget akarunk így szétbontani.
S+ szabály a születésre:
1. Vizsgáljunk egy állat- vagy növényfajt normális körülmények között! Minél több egyed él egy adott pillanatban, annál több utód születhet.
2. Vizsgáljuk egy gázfelhőben mozgó csillag atomjai számát! Születés itt akkor történik, amikor a csillag befog a környező térből molekulákat. Adott, állandó gázsűrűség esetén a befogás sebessége a csillag gravitációjától függ, s így a csillagban levő atomok számával arányos.
S+ szabály a halálozásra:
1. Vizsgáljunk egy állat- vagy növényfajt normális körülmények között! Minél több egyed él egy adott pillanatban, – elvileg – annál több egyed halhat meg.
2. Vizsgáljuk a radioaktív bomlásnál a bomló anyagot! Mivel a radioaktív bomlásra a felezési idő egy jellemző adat, ezért ha több anyagunk van, azonos idő alatt több atom bomolhat el.
3. Vizsgáljunk egy adott térfogatú felhőben levő vízcseppeket. A vízcseppek „halála” legyen az összeolvadásuk egy nagyobb vízcseppé! Ha nagyon sok vízcsepp van a felhőben (nagyon sűrűn vannak), akkor sokkal valószínűbb két vízcsepp összeolvadása, azaz halálozásuk arányos a létszámukkal.
S- szabály a születésre:
1. Egy erdőben új fa „születése” akkor lehetséges, ha a környékén valamilyen oknál fogva „meghaltak” fák (kivágták, kiszáradt stb.). A nagy fák árnyékában ugyanis nem tudnak fejlődni az újabbak. Amint egy területre besüt a nap, akkor megjelenhet sok új facsemete. Tehát a fák születése erdőben a fák számával fordítva arányos.
2. Vizsgáljuk egy adott térfogatú felhőben levő vízcseppek számát! A vízcseppek kondenzálódással születnek. Ha már sok vízcsepp van a felhőben, akkor valószínű, hogy a további vízmolekulák nem új vízcseppeket alkotnak, hanem a már meglevő vízcseppekre kondenzálódnak, s a már létező vízcseppek száma lassabban fog növekedni.
S- szabály a halálozásra:
1. Vizsgáljuk állatoknak olyan populációját, amelyek csoportosan élnek, s a csoportos életforma például a ragadozók elleni védelmet szolgálja. Ebben az esetben a nagy létszám biztosítékot jelent a ragadozók ellen, s így a halálozási gyakoriságot csökkentő tényező.
A várható eredményeket a populáció létszámára különböző születési és halálozási szabályok esetén a következő táblázat foglalja össze:
Elemi modellek várható eredményei.A táblázatban állapotnak a létszám pillanatnyi értékét tekintjük.
Stabil: Adott egyedszám esetén a fel-, illetve leépülési gyakoriságok egyenlőek. A létszám változása esetén a két gyakoriság úgy módosul, hogy a változást visszafordítsák. Az ilyen populációk önmagukat szabályozzák, így képesek védekezni katasztrófák ellen. Nagy létszám esetén pedig determinisztikusan viselkednek. (Egyetlen végállapot van!)
Instabil: A létszám kismértékű változása úgy módosítja a születési, halálozási gyakoriságokat, hogy azok ezt a változást tovább erősítik. Ekkor „katasztrófa” következik be: vagy demográfiai robbanás, vagy a faj kihalása lesz az eredmény. Mindkét katasztrófa kikerülhetetlen, ezért a populáció „sorsa” determinisztikus. (Van olyan állapot, amelyből két különböző végállapot is elérhető!)
Közömbös: A populáció létszáma bármilyen lehet, s bárhogyan változhat, nincs szabályozó hatás, a jövő nem determinált. (Nincs végállapot!)
Változó: Stabil vagy közömbös vagy instabil. (Az, hogy melyik következik be, attól függ, hogy pontosan milyen a születések és halálozások aránya; itt ugyanis két tendencia hat egymás ellen, s csak a pillanatnyi „erőviszonyok” döntik el, hogy melyik tendencia kerekedik felül.)
Az elemi modellekkel a populáció elemszámát kívánjuk vizsgálni, s a fenti táblázatban megállapított tulajdonságokat szeretnénk igazolni. Minden esetben az előző fejezetben ismertetett folytonos keretmodellt fogjuk használni, az eseménytér 1 elemének módosítását fogjuk pontosítani.
Ezek előtt azonban nézzünk meg egy egyszerű feladatot, amellyel szemléltethetjük a szabályok alkalmazásának módját! Vizsgáljuk a radioaktív bomlás problémáját! Itt a bomló anyag keletkezésére az S0 szabály lesz érvényes, hiszen nem keletkezik belőle egy gramm sem (ez független a mennyiségétől), a fogyására (halál) pedig az S+ szabály: minél több van belőle, időegységenként annál több fog elbomlani (a felezési idő függvényében). A bomlástermékre viszont nagyon furcsa eredményt kapunk: a keletkezésére (születés) az S- szabály lesz érvényes, ami azt jelenti, hogy minél kevesebb van belőle, annál több keletkezik, illetve minél több van, annál kevesebb. Látszólag azt a következtetést vonhatnánk le ebből, hogy a radioaktív bomlás sebessége a bomlástermékének mennyiségétől függ, pedig tudjuk, hogy a kettő között nincsen oksági kapcsolat! Pontosabb gondolkodással fényt deríthetünk erre az ellentmondásra. Radioaktív bomlás esetén kétféle anyagot vizsgálunk, mivel a folyamat közben ezek összmennyisége (atomjaik darabszáma) nem változhat, ezért abból, hogy az összmennyiségben az egyikből nagyon kevés van, következtethetünk arra, hogy a másikból ekkor sok van, és ha ezt nem vettük figyelembe, akkor vonhattunk le a fentihez hasonló téves következtetéseket.
Vizsgáljuk meg a 9 lehetőségből a 4 legfontosabbat!
Adott egy N×M-es táblázat. Helyezzünk el benne kétféle elemet (A és B betűk) adott arányban! Betűket fogunk levenni és feltenni különböző szabályok alkalmazásával. A kétféle betűre midig ugyanazt a szabályt alkalmazzuk. Figyeljük meg a két betű arányának változását!
Szabályok: S0 születés – S0 halálozás. Pénzfeldobással döntsünk, hogy A-t cserélünk B-re vagy B-t cserélünk A-ra (egyenlő esélyek)! Készítsük el a feladat nem egyenlő esélyű változatát is!
Megfigyelhető jelenségek:
Mind a 4 feladatnál csak az egyenlő esélyű változat algoritmusát fogjuk megadni.
Szimulációs lépés:
Ha véletlenszám<0.5 akkor A-t cserél B-re különben B-t cserél A-ra
Eljárás vége.
Vizsgáljuk meg, hogy miért jó a módszer, miért teljesülnek az (S0 – S0) modell feltételei! A modell szerint a születésnek és a halálozásnak függetlennek kell lennie az egyedszámtól. Ez teljesül, hiszen a választásban (mit cseréljünk mire?) az egyedszámtól függetlenül (0.5-es valószínűséggel) döntöttünk.
Ha valamelyik populáció elfogyott, akkor az az eljárás, ami a cserét végrehajtja, nem csinál semmit.
A modell tulajdonképpen a klasszikus egydimenziós véges bolyongási probléma visszaverő falak esetén, s ennek vizsgálatára matematikai módszerek is szép számmal vannak.
Szabályok: S- születés – S+ halálozás. Válasszunk ki véletlenszerűen egy mezőt és azután az ott levő egyedet cseréljük ki egy másik fajtájúra!
Megfigyelhető jelenségek:
Szimulációs lépés:
(i,j):=véletlen hely(N,M)
Ha Tábla(i,j)="A" akkor Tábla(i,j):="B" különben Tábla(i,j):="A"
Eljárás vége.
Nézzük meg, hogy a programunkra teljesülnek-e a modellünk feltételei! Ha az egyik populáció nagy létszámú, akkor nagy valószínűséggel belőle választunk ki egy egyedet és így az egyedszáma csökken. Ha kicsi, akkor sokkal kisebb eséllyel történik meg ez. (Tehát a halálozásra igaz az S+ szabály.) Ennek megfelelően a születésekre pontosan fordított szabály teljesül, hiszen eljárásunk szerint „a másikra” cseréltük ki (ez az S- szabály).
Ez a modell fontos szerepet játszik fizikai, kémiai jelenségek vizsgálatában (Ehrenfest modell, „a bolhák és a kutyák problémája”).
Szabályok: S+ születés – S- halálozás. Válasszunk ki véletlenszerűen egy mezőt és az ott található egyedet helyezzük el egy tetszőleges másikféle helyére is!
Megfigyelhető jelenségek:
Szimulációs lépés:
(i,j):=véletlen hely(N,M)
Ha Tábla(i,j)="A" akkor A-t cserél B-re különben B-t cserél A-ra
Eljárás vége.
Nézzük meg, hogyan teljesülnek a modellünk feltételei! Ha egy populáció nagy létszámú, akkor nagy valószínűséggel belőle választunk ki egy egyedet, ha ezt a program szerint egy „másik” helyére (amelyből ekkor kevés van) tesszük, akkor a nagy létszámú populáció tovább fog növekedni, a kicsi pedig nem, így teljesül a születésekre az S+ szabály. Mivel „másik fajtájút” veszünk le, ezért a halálozásokra az ellentétes S- szabálynak kell teljesülnie.
Ha az egyik populáció elfogyott, akkor a cserélő eljárás egyenértékű egy „megállás” utasítással, vizsgálatainkat befejeztük.
Szabályok: S+ születés – S+ halálozás. A módosítást két lépésben végezzük. Először kiválasztunk egy helyet véletlenszerűen és az ott levő egyedet eltávolítjuk a tábláról. Ezután választunk egy újabb mezőt és az ott található fajtából az előbb kiürített helyre is teszünk egyet!
Szimulációs lépés:
(i,j):=véletlen hely(N,M)
(k,l):=véletlen hely(N,M)
Tábla(i,j):=Tábla(k,l)
Eljárás vége.
Vizsgáljuk meg, hogy teljesülnek-e a programunkban a modell feltételei! Első észrevételünk az lehet, hogy a születéseket és a halálozásokat egyforma szabályok szerint végeztük. A második modell szerint, ahol a halálozásokat úgy valósítottuk meg, ahogyan itt, ez a közös szabály az S+.
Később, biológiai modelleknél ezt az elemi modellt fogjuk használni.
Amennyiben kódoljuk a lehetséges elemi modelleket és táblázatos formában elrendezzük a lehetséges stratégiákat, a következő futási eredményeket kaphatjuk:
Elemi modellek azonos kezdő állapotból, különböző végállapotok felé tartanak.vagy:
Elemi modellek azonos kezdő állapotból, különböző végállapotok felé tartanak.
 |
 |
 |
| Készült az "Országos koordinációval a pedagógusképzés megújításáért” című TÁMOP-4.1.2.B.2-13/1-2013-0007 pályázat keretében. (ISBN 978-963-284-631-6) | ||
A tananyag az ELTESCORM keretrendszerrel készült