Szimulációs modellek a biológiában

4. Populációgenetikai modellcsalád

4.1. Az ősmodell

A populáció „életét” genetikai arányainak, illetve ezek változásainak tükrében vizsgáljuk. A populációt osztályokra bontjuk vizsgált genetikai sajátosságaik alapján. Az osztályok lehetnek adott allélok szerinti genotípusok, vagy fenotípusok (speciálisan beszélhetünk nemek szerinti osztályozásról is).

Az osztályokra (az osztályok között) „ható erőket” váltogatva, esetleg egyeseket kihagyva, vagy másokkal helyettesítve újabb modellekhez jutunk. Strukturális alapon a modellcsalád újabb alcsaládjait kapjuk meg.

A modellcsalád működésének megértéséhez elvonatkoztatunk az egyes konkrét modellektől, és egyetlen „ŐS” modellbe foglaljuk őket. Ebből kiindulva könnyen „levezethetők” a modellvariánsok.

A populáció életét mint generációk egymásutánját tekintjük. Kiindulunk egy ős populációból, „alkalmazzuk” rá a generációváltáskor ható erőket, képezzük az utódgenerációt, amely egyben a következő generáció szülőgenerációja lesz.

Nézzük a modell megvalósítását!

Célszerű a modellben is mindkét (szülő, utód) generáció megfelelőjét definiálni. Jelölje a szülők generációját S-gen , az utódokét U-gen !

Mi lesz a modell szimulációs lépése?

Látható, hogy a hatóerőket kívülről jövő paramétereknek tekintjük, míg az ős populációt eleve adottnak. Ezzel a megkülönböztetéssel az a célunk, hogy jelezzük: a hatóerők cseréjével alapvetően változhat a modellünk felépítése is (a különbség persze ezen a szinten még nem jelentkezik).

Emlékeztetjük Olvasóinkat arra, hogy a fenti modellhez megtévesztésig hasonlóval már találkoztunk a leckesorozat első tagjának (Modellezés és szimuláció) keretmodelljei között generációs keretmodell név alatt!

A modell finomításához a generációváltás eljárást kell tisztáznunk! Ezt alapvetően a „dinamikus” hatóerő paraméter határozza meg, amely a „statikus” S-gen paraméterre hatva állítja elő az U-gen -t.

A tovább menetelhez ezen a ponton érdemes sorra venni a számba veendő hatóerőket, mégpedig az alábbi ábra csoportosítása szerint.

A függetlenség a modell (a természet) működésére utal, ti. az új egyed „milyensége” két egyed (ilyen vagy olyan módon befolyásolt, de alapjában véve) véletlenszerű találkozásán múlik. A véletlenekből fakadó hatóerők statisztikus erők (persze komoly biológiai következményekkel), s nem a természetben meglévő vagy hiányzó tényezők következményei. Ezért tekinthetjük környezettől függetleneknek, s ezért a modell mindenkori magját alkotják.

Hogyan néznek ki modellünkben a statikus paraméterek: a leendő programunk objektumai?

S-gen , U-gen : N darab egyedből állnak; egy-egy egyedét a szülők generációjának az S-gen(i) , illetve az utódok generációjának az U-gen(i) jelenti.

Az eljárás működéséről csak annyit, hogy addig keresi a megfelelő partnereket, amíg a feltételeknek statisztikusan megfelelő párt ki nem választotta, vagyis ha nemek veendők figyelembe, akkor két különböző neműt, ha a „szimpátia” viszonyok befolyásoltak, akkor ezeknek megfelelő két egyedet...

A finomítást tovább nem visszük, ugyanis az már elvezet az egyes konkrét modellekhez, és az ezekkel való foglalkozást későbbre szánjuk. Megelégszünk annyival is, hogy megadjuk az adatobjektumok szerkezetét, ami alapján már el tudja képzelni az Olvasó a folytatást, a további finomítást. Genetikai információk szolgálnak modellünk alapjául, így természetes, hogy az egyes egyedeket – legyen az szülő vagy utód, esetleg „bevándorló” – az őt azonosító genotípusával helyettesítjük. Ha tehát K darab, eltérő genetikai tulajdonságot veszünk figyelembe, akkor minden egyes eleme az S-gen , az U-gen , és az S'-gen generációknak tovább bomlik K elemibb egységre. Vagyis például az i . szülő j . genetikai tulajdonságára az S-gen(i,j) formalizmussal hivatkozhatunk. A teljes populáció génanyagát a fenti két (három) mátrix fogja tárolni. Ha diploid populációról van szó, akkor ezen elemek tulajdonképpen elempárokból állnak, és ekkor az i . szülő j . genetikai tulajdonsága két helyen ( S-gen(i,2*j-1) , S-gen(i,2*j) ) található.

Ha sem a szülők, sem a gének párba állítását nem korlátozza egyetlen erő sem, akkor a Generációváltás eljárás tovább egyszerűsíthető az eljárások egységesítésével (azaz mindkét szülőre egyként alkalmazva):

Vissza a tartalomjegyzékhez

4.2. Az ősmodell érvényességi köre

Meg kell vizsgálnunk, hogy az ősmodell fenti, gyanúsan egyszerű elképzelése mennyire (s mikor) tekinthető a valóságot hűen modellezőnek!

A fenti leírásából körvonalazódik az ősmodell „filozófiája”: rögzített számú ( N , esetleg N+M ) egyed, amelyek születésük pillanatától halálukig rendelkeznek a kifejlett egyed minden „képességével” (pontosabban annak az osztálynak jellemző tulajdonságaival, amelybe beletartoznak).

Az érvényesség 1. „dimenziója”: rögzített egyedszám. Nem jelent korlátozást, ha nem abszolút, hanem relatív mennyiségi viszonyokat vizsgálunk (márpedig mi ezt tűztük magunk elé).

Az érvényesség 2. „dimenziója”: időtől független egyedi lét. Születéstől a halálig teljes kifejlettség, azaz egyetlen korcsoport. Teljesen helyes a modell, ha a vizsgált tulajdonság korcsoporttól független. Közelítően helyes, ha az osztályok „fejlettségi paramétereit” a valóságos korcsoportok szerinti súlyozott átlagaként határozzuk meg.

Pl. ha k darab korcsoportot különböztetnek meg, és az i. korcsoport egyedei P_i valószínűséggel járulnak 1 utóddal a következő generációhoz, és Q_i az i. korcsoport populációbeli relatív gyakorisága, akkor a modellbeli paraméter:

Az érvényesség 3. „dimenziója”: generációváltás „gongütésre”. Az egyes generációk termékenységi időszakai nem átfedők. A statisztikus egyensúly létét, és beálltát nem befolyásolja a generációk keveredésének hiánya, hatása legfeljebb a konvergencia gyorsaságát érinti. (Pontosabban: szélsőséges esetekben némiképpen eltérhet a valóságtól. Például stabilan kicsi és lassan szaporodó populációk esetében.)

Az érvényesség 4. „dimenziója”: teljes generációváltás. Minden generáció egységnyi ideig él. A 2. dimenzióval összefüggésben: ha az egyedi lét időfüggetlen, akkor az egyed populációbeli „hatása” lineárisan függ az életének hosszától; másrészt mivel osztálytársaival ekvivalens, ezért az osztály „eredő hatása” összélettartamukkal arányos. E kettőből következik, hogy az „eredő hatás” szempontjából azonos megoldást ad, ha minden egyedet (azonos) egyedi léthosszal és „átlagos hatástényezővel” veszünk figyelembe.

Az érvényesség 5. „dimenziója”: stacionárius hatóerők. Azon esetekben származhat gond, ha a környezeti változások oly gyorsan állnak be, hogy a populáció ez idő alatt nem képes a megváltozott viszonyoknak megfelelő egyensúlyi helyzetbe jutni. Egyébként a változások szerint külön-külön modellezve játszható le a teljes folyamat. (Megjegyezzük, a programban rendkívül egyszerűen megvalósítható a környezet megváltozása!)

Vissza a tartalomjegyzékhez

4.3. A modellcsalád alcsaládjai

Az elkövetkezők előrejelzéseként és egységes „képbe” foglalásaként felsoroljuk az egyes alcsaládok strukturális tulajdonságait. Emlékeztetjük Olvasóinkat, hogy ezen strukturális tulajdonságra építve más-más hatóerőket feltételezve kapjuk meg az egyes modelleket.

Az első alcsalád szerkezeti tulajdonságai:

• diploid genotípusok
• a nemek nem megkülönböztethetők
• 1 lokusz
• 1 lokuszban 2 (alternatív) allél

A második alcsalád:

• diploid genotípusok
• a nemek nem megkülönböztethetők
• 1 lokusz
• 1 lokuszban sok (alternatív) allél

A harmadik alcsalád:

• diploid genotípusok
• a nemek nem megkülönböztethetők
• két lokusz (megelégszünk csak kettővel, ugyanis csak útmutatásnak szánjuk a több lokuszos modell megvalósítása felé)
• minden lokuszban 2 (alternatív) allél

A negyedik alcsalád:

• tetraploid genotípusok (innen már könnyen extrapolálhatunk más páros'ploid irányába)
• a nemek nem megkülönböztethetők
• 1 lokusz
• 1 lokuszban 2 (alternatív) allél

Az ötödik alcsalád (pl. az emberi X kromoszómán levő gének vizsgálata):

• diploid genotípusok
• a nemek megkülönböztethetők
• 1 lokusz
• 1 lokuszban 2 (alternatív) allél

Vissza a tartalomjegyzékhez

4.4. A programokról általánosságban

Talán ez az a pont, ahol célszerű még egy „távlati” pillantást vetnünk arra a modellre (helyesebben a modellek azon osztályára), amelyet az elkövetkezőkben teljes részletességgel és konkrétsággal fogunk tárgyalni. Miket feltételezünk a modellben, milyen paramétereket adunk meg a modellt megvalósító programnak, és mit várunk el tőle.

Először is feltesszük a hatóerők változatlanságát (stacionaritását). Ebből a feltevésből kiindulva származtatjuk a modell struktúráját. Kezdetben az ős populáció ismert: például a genotípusainak gyakorisága által, vagy – egyensúlyt feltételezve – allélgyakoriságok által. Eredményként a genotípusok (fenotípusok) gyakoriságait várjuk (természetesen generációnként).

Vissza a tartalomjegyzékhez

4.5. Diploid, 1 lokuszos, 2 allélos alcsalád

Az első alcsalád modelljeinek megalkotásakor a következő feltételeket vesszük figyelembe:

• diploid genotípusokat vizsgálunk,
• a két nemet nem különböztetjük meg,
• egy lokuszban előforduló alternatív allélokat vizsgálunk,
• egy lokuszban két allél fordulhat elő.

Ezekben a modellekben minden egyedet két jellemzővel adhatunk meg, azzal a génpárral, amely a genotípusát meghatározza. Ezért N sorból és két oszlopból álló táblázatokat fogunk használni. Az ősmodellben megadott objektumok kódolása:

S-gen(N) → S(N,2)

U-gen(N) → U(N,2)

Az előző fejezetben létrehozott ősmodellt fogjuk konkrét formában megvalósítani, a szimulációs lépést írjuk újra. A szimulációs lépésből is igazából a Generációváltás eljárás a lényeges, így legtöbbször csak ezzel foglalkozunk.

4.5.1. Génkeveredés

A Hardy-Weinberg egyensúly az evolúciós genetikai elmélet kiindulási tétele. A diploid genotípus-gyakoriságok (bizonyos véletlenszerű ingadozástól eltekintve) illeszkedni fognak a megfigyelt géngyakoriságokon alapuló binomiális eloszláshoz, ha

• az allélok nem változhatnak (nincs mutáció),
• a populáció zárt (nincs ki-, illetve bevándorlás),
• a populáció egyedszáma „elég nagy” (nincs sodródás),
• a heterozigóták a kétféle allélt egyforma arányban adják tovább gamétáikban (nincs meiotikus irányítottság, ivarsejt szelekció),
• az egyes fenotípusok egyformán életképesek, szaporák (nincs szelekció),
• a populáció pánmiktikus (a párválasztás teljesen véletlenszerűen történik).

Ekkor látható, hogy a gének összekeveredése nem hoz létre evolúciót, a géngyakoriságok állandók maradnak, a diploid genotípusok gyakoriságai számíthatók ezekből.

A fenti feltételek elhagyásával modellünkből hat leszármazottat fogunk készíteni.

Ebben a fejezetben – a jobb érthetőség kedvéért – egy konkrét, de fiktív példát használunk. A vizsgált populáció legyen egy N egyedből álló egérpopuláció! Mint már említettük, a populáció egyedszáma minden szaporodás, generációváltás után azonos marad a korábbival, ezért csak az N szülő, illetve az N utódegér megadásával kell foglalkoznunk. A modellekben vizsgált tulajdonság az egerek színe lesz, amelyről feltesszük, hogy egy génpár határozza meg. Feltevésünk szerint az SS, illetve SF génpárral rendelkező egerek szürke színűek, az FF-ek pedig fehérek.

Adjunk meg egy induló genotípus-gyakoriság eloszlást, és vizsgáljuk a géngyakoriságok változását a populációban!

A Generációváltás eljárást a mostani, legegyszerűbb esetre újrafogalmazzuk.

A modell működtetése során megfigyelhetjük, hogy a génkeveredés nem hoz létre evolúciót, így ilyen modell esetén nem beszélhetünk fejlődésről. A kétféle allél relatív gyakorisága, a fenotípusok aránya valamilyen adott érték körül fog véletlenszerűen ingadozni. A genotípusok (SS,SF,FF) aránya a binomiális eloszlásnak megfelelő érték körül fog ingadozni (függetlenül az esetleges extrém kezdő genotípuseloszlástól).

4.5.2. Mutációs nyomás és egyensúly

Mutációk előfordulásakor nemcsak új genetikai anyag keletkezik, amelyre az evolúciós erők hatást gyakorolhatnak, hanem bizonyos mértékig a géngyakoriságok is szükségszerűen megváltoznak. Mutáljon egy allél ( R /generáció)-sebességgel egy más alléllá! R -t mutációs rátának nevezzük. Kérdéses, hogy mekkora hatása van egy ilyen változásnak? A valóságban R értéke 0,0001 nagyságrendű, vagy annál kisebb és így a génhelyettesítés akár évezredekig is tarthat. Napjainkban nagyon sok mutagén (a mutációs rátát növelő) anyag szennyezi környezetünket, így a mutációk evolúciós szempontból való vizsgálata fontos lehet, nem is beszélve arról, hogy a biológia alkalmazásaiban (mezőgazdaság: új, jobb fajták nemesítése, tenyésztése) szándékos mutációkat idéznek elő.

Konkrét modellünkben új genetikai anyag keletkezésével nem foglalkozunk (az egérszínek száma nem fog bővülni), a mutációk csak a létező két allél között következhetnek be.

Ebben, és az alcsalád további modelljeiben a kezdeti állapotot az allélgyakoriságokból számított, egyensúlyi genotípus-gyakoriságokkal adjuk meg, s a genotípus-, illetve allélgyakoriságok változását figyeljük.

Mutáció esetén a fentiek szerint három esetet különböztethetünk meg:

A. eset: Az S allél P valószínűséggel átalakul F alléllá.

B. eset: Az F allél Q valószínűséggel átalakul S alléllá.

C. eset: Az S allél P valószínűséggel átalakul F alléllá, s ugyanakkor az F allél Q valószínűséggel S alléllá.

A Generációváltás három alapvető eljárásából csak azt fogalmazzuk újra, amelyben a mutáció hatását figyelembe kell venni. A mutáció a szülőválasztást, illetve a génválasztást nem befolyásolja, ezért csak a génátadással kell foglalkoznunk. A mutációt modellünkben úgy értelmezzük, hogy a szülő bizonyos valószínűséggel nem azt az allélt adja tovább utódjának, amit ő kapott a szülőjétől, hanem éppen a másik allélt.

Az e modell alapján elkészített programmal megfigyelhetjük, hogy az első esetben az S allél relatív gyakorisága és így a szürke fenotípus relatív gyakorisága a P valószínűségtől függő sebességgel fog csökkenni, a fehér fenotípus nagyon lassan fog növekedni a populációban (mivel az F allél recesszív), elterjedése később jelentősen felgyorsul (ha már elég sok az F allél a heterozigótáknál).

A második esetben az F allél relatív gyakorisága csökken ilyen sebességgel, a fehér fenotípus viszont lényegesen gyorsabban fog csökkenni (mivel az F allél a heterozigótákban gyakrabban fordul elő).

A harmadik esetben a kezdeti eloszlástól független egyensúly fog kialakulni, az egyensúly helyét a két valószínűség (mutációs ráták) aránya határozza meg, az egyensúly létrejöttének sebességét pedig a kezdeti eloszlásnak az egyensúlyi eloszlástól való eltérése.

Ha csak egyszeri mutációt szeretnénk vizsgálni, akkor a szimulációs lépés végén a mutációs rátákat nullázni kell:

Ez lökésszerű eloszlásváltozást okoz, s azután a populáció beáll az új egyensúlyi állapotba.

4.5.3. Génáramlás

A géngyakoriságok megváltoztatásának leggyorsabb módja genetikailag különböző egyedek bevándorlása egy populációba. Mi csak a fajon belüli génáramlással foglalkozunk, ahol a bevándorlási (migrációs) rátát változtatva vizsgáljuk a populáció génösszetételét. A bevándorlás akkor érdekes jelenség, ha a bevándorlók genetikai összetétele más, mint az őshonos populációé. A jelenséget érdekes úgy is kettéválasztani, hogy csak egyetlen alkalommal történik-e bevándorlás, s azután a populációt zártnak tekinthetjük, vagy pedig a bevándorlás folyamatos, minden generációhoz ugyanannyi, valamilyen genotípus-eloszláshoz tartozó egyed vándorol be.

Az általunk vizsgált modellben a modell objektumainak megadásán is változtatnunk kell. El kell helyeznünk a bevándorló egyedeket is a szülőtáblázatban. Legyen generációnként M db bevándorló, s a genotípusukat tároljuk az S(,) mátrix N+1..N+M . soraiban! Ha csak egyszeri bevándorlásról van szó, akkor a szimulációs lépés végén az M változó értékét állítsuk 0-ra!

Az N+M egérnek ebben a modellben is pontosan N utódja szülessen! A génkeveredési modellben most ezért a szülőválasztást kell módosítani:

A modell használata során megfigyelhető, hogy az allélgyakoriságok a bevándorlás mértékétől függő sebességgel változnak, s ez függ a bevándorló és az eredeti populáció géneloszlásának különbözőségétől is. Ha a bevándorlás elég kicsi, akkor előfordulhat (véletlenszerűen), hogy a bevándorlás hatástalan az allélgyakoriságokra. Ha a bevándorlás folyamatos, akkor a populáció génösszetétele előbb-utóbb a bevándorlókhoz hasonlóvá válik, míg egyszeri bevándorlásnál ez csak egy kicsit módosul.

Ez a leggyorsabb evolúciós hatóerő, egy generáció alatt is lényeges változást hozhat létre.

A génáramlás másik esete a kivándorlás. Ez akkor érdekes, ha a különböző genotípusú egyedek más valószínűséggel vándorolnak ki. Az SS genotípusúak VSS valószínűséggel vándoroljanak ki, az SF genotípusúak VSF valószínűséggel vándoroljanak ki, az FF genotípusúak pedig VFF valószínűséggel vándoroljanak ki! Mivel a populáció fix létszámához ragaszkodunk, ezért minden cikluslépésben pontosan egy nem kivándorló utódot kell előállítanunk. Ez a szokásos „próbák és tévedések” módszerével megy: előállítunk egy utódot, s ha az kivándorló lennem, akkor újra próbálkozunk.

A génáramlás modellezési szempontból akkor is érdekes lehet, ha azt a populációt is kezeljük, ahova az egyedek kivándorolhatnak.

Az eddigi táblázatainkat, paramétereinket kettőzzük meg: pl. S1(N1,2) és S2(N2,2) , ... Mindkét populációnál az utódok számát növeljük meg a másikba innen bevándorlók számával ( M1 , illetve M2 ), s a szimuláció a következőképpen alakul:

4.5.4. Genetikai sodródás

A genetikai sodródás a géngyakoriságok mintavételi hiba okozta megváltozása (a felnőtt populáció bizonyos véletlenszerűen kiválasztott egyedei vehetnek részt a következő generáció létrehozásában mindez ugyanolyan hibalehetőségekkel jár, mint a matematikai statisztika elemi mintavételi eljárásai: kis elemszámú halmazból vett minta gyakran nem reprezentatív). Bizonyos mértékig minden populációban fellép sodródás, de csak nagyon kis populációkban jut evolúciós szempontból jelentős szerephez. A kis létszám hatását még azzal is erősíteni fogjuk, hogy a szaporodásban csak a populáció kis része vehet részt.

Folyamatos sodródásról beszélünk, ha ez a helyzet több generáción keresztül is fennáll, egyszeri sodródásról pedig akkor, ha csupán egyetlen esetben fordul elő (pl. valamilyen járvány kipusztítja a populáció jelentős részét).

A modellbe egyetlen új változót kell bevezetni, jelölje SK a szaporodóképes szülők számát a populáción belül! Ha egyszeri sodródásról van szó, akkor a szimulációs lépés végén SK értékét N -re kell módosítani, s így a továbbiakban a teljes populáció vehet részt a Generációváltás -ban. Ebben a modellben is a szülőválasztást kell módosítani:

Ebben a modellben megfigyelhetjük, hogy a géngyakoriság változásának nincs határozott iránya (mint azt a génkeveredésnél is tapasztaltuk), az ingadozás azonban sokkal nagyobb méretű, s különösen függ a szaporodásra képes szülők számának értékétől. Ha csak egyszeri sodródást vizsgálunk, akkor az ekkor bekövetkező gyors változás után a populáció az új eloszlásnak megfelelő egyensúlyi állapotba jut, s az ingadozás újra kicsi lesz. Folyamatos sodródás esetén a véletlenszerű ingadozás egyes allélokra végzetes hatású lehet.

4.5.5. Meiotikus sodródás

Az eddigi modelljeinkben feltettük, hogy a heterozigóták alléljeiket egyenlő gyakorisággal adják tovább utódaiknak. Meiotikus sodródás lép fel, ha a meiózis mechanikájának tulajdoníthatóan egyenlőtlen az ivarsejttermelés (a kétféle gaméta nem egyenlő arányban keletkezik). Hasonló jelenséget okoz az ivarsejt szelekció is (az egyik gamétának nagyobb esélye van a megtermékenyítésre), amelyet az előbbitől elég nehéz megkülönböztetni, és így mi most ezeket egységesen kezeljük, az eseményeket nem az ok, hanem a hatás szerint vizsgáljuk.

Meiotikus sodródás miatt a génválasztást kell módosítani, méghozzá a heterozigóta szülők esetében. Megadjuk, hogy egy heterozigóta szülő milyen arányban tudja továbbadni a kétféle allélt. Legyen R a domináns allél továbbadásának valószínűsége!

Ebben a modellben a kétféle allél relatív gyakorisága folyamatosan változni fog. Ez a változás attól függ, hogy a heterozigóták milyen arányban képesek továbbadni a kétféle allélt. A genotípusok (SS,SF,FF) gyakorisága a fentieknek megfelelően eltér a binomiális eloszlástól.

4.5.6. Irányító szelekció

A természetes szelekció a genotípusok relatív gyakoriságainak megváltozása, ami annak köszönhető, hogy fenotípusaik különböző mértékben képesek képviseltetni magukat a következő nemzedékben. Modellünkhöz a következő egyszerűsítő feltételt használjuk (az eddigieken kívül): a genotípusok rátermettsége konstans.

A két fenotípusra különböző nagyságú szelekciós erő hat, az általánosság érdekében (ha a heterozigóta újabb fenotípusú lehet) genotípusokkal foglalkozzunk! Megadható mindhárom relatív rátermettsége (egy 0 és 1 közötti szám, 1 a legalkalmasabbé). (Ezek: W1 , W2 , W3 ) Teljes dominancia esetén W1=W2 , hiszen a szelekciós erő a fenotípusokra hat.

Ebben az esetben a szülőválasztást kell módosítanunk, a különböző rátermettségű szülőket különböző valószínűséggel kell választani. Tegyük ezt úgy, hogy a szülőválasztást mindaddig ismételjük, amíg nem találunk megfelelő szülőt!

Figyeljük meg az alábbi táblázatban a következő eseteket:

1. A recesszív homozigóták és náluk lassabban a heterozigóták teljes kiküszöbölődése.

2. Recesszívek elleni részleges szelekció, csak a kiküszöbölődés sebessége kisebb, mint az előző esetben.

3. Az előző esetet még módosítja a heterozigótákra ható közbülső szelekció.

4. A heterozigóta fölény miatt egyik genotípus sem képes kiszorítani a másikat.

5. Hasonló a második esethez, de a recesszív homozigóták számának növekedése kezdetben sokkal lassúbb lesz.

6. Amelyik homozigótából több van (pl. a véletlenszerű ingadozás miatt) az teljesen (és gyorsan) kiszorítja a másikat (instabil egyensúlyi állapot).

7. Binomiális eloszlás fog kialakulni, a genotípusok aránya 1:2:1 lesz (stabil egyensúlyi állapot).

Bármelyik esetről is van szó, a populáció átlagos szelekciós együtthatója minden generációban nagy valószínűséggel növekedni fog.

Érdekes kapcsolat fogalmazható itt meg a populációdinamikai modellekkel. Legyen a populáció változó egyedszámú, a szelekciós együtthatók pedig függjenek az egyedsűrűségtől, azaz modellünkben a létszámtól. Elképzelhető, hogy nagyobb létszám esetén nem ugyanaz a fenotípus a legrátermettebb, mint kis létszámnál, s ekkor az átlagos szelekciós együttható növekedése máris nem annyira egyértelmű.

Az utódok egyedszáma függjön a populáció átlagos szelekciós együtthatójának egy konstans szorosától:

A Szülőválasztás szelekciós paramétereit pedig létszámfüggővé kell tenni. Ez a jelenség így képes az egyes allélok közötti egyensúly újfajta kialakítására.

4.5.7. Nem pánmiktikus populáció

Az eddigi modellekben mindig teljesült a pánmixia feltétele, most azt vizsgáljuk, hogy az ettől való eltérés hogyan hat a géngyakoriságokra. A pánmixiától kétféle irányban lehet általában eltérni:

• a hasonló típusok előnyben részesítik egymást (pozitív preferencia, asszortatív párosodás),
• az eltérő típusok részesítik egymást előnyben a párosodás során (negatív preferencia, disszortatív párosodás).

Ha a problémát általánosabban szeretnénk vizsgálni, akkor bevezethetjük az ún. „szimpátia mátrix”-ot. Ennek egy elemében (i. sor, j. oszlop) azt tároljuk, hogy az i. genotípus mennyire „szimpatizál” a j. genotípussal (azaz milyen valószínűséggel jók ők szülőpárnak). Vegyünk olyan mátrixot, amely szimmetrikus (a szimpátia legyen szimmetrikus tulajdonság), az eddigi modelleknek ekkor az felel meg, hogy a szimpátia mátrix minden eleme 1-es, azaz mindenkinek mindenki egyformán szimpatikus. Teljes dominancia esetén a mátrix 1. és 2. sora (illetve oszlopa) megegyezik. Az első sor (oszlop) a domináns homozigótáé, a második a heterozigótáé, a harmadik a recesszív homozigótáé.

A szimpátia mátrix legyen az SZ(3,3) mátrix! A Generációváltás algoritmusát is módosítanunk kell, mivel a két szülő választása most már nem független egymástól.

Szülők választásá-t a szelekcióhoz hasonlóan végezzük, addig válasszunk újabb szülőpárt, amíg megfelelőt nem találunk!

A modell használatával megfigyelhetjük, hogy ha csak a mátrix diagonálisában (főátló) van 1-es és minden más helyen 0, akkor nem változik meg az allélok gyakorisága a populációban, de a genotípusok között a homozigóták gyakorisága növekedni fog. Ha csak a mátrix diagonálisában van 0 és minden más helyen 1-es (azaz a vele azonosat senki nem szereti), akkor a heterozigóták aránya növekedhet a populációban, s ez esetleg az allélgyakoriságokra is hathat. Ha valamelyik sor (oszlop) csupa 0-t tartalmaz, annak olyan hatása van, mint amikor az illető genotípus relatív rátermettsége 0 volt.

4.5.8. Az evolúciós tényezők kölcsönhatásának vizsgálata

A kölcsönhatások vizsgálatával kapcsolatos programok úgy készülnek, hogy a megfelelő egyedi programokból a szükséges részeket összeválogatjuk! Így kapjuk meg az ősmodell második leszármazottjait.

Mutáció és szelekció együttes hatása:

Tegyük fel, hogy egy nagy, eléggé izolált populációra csak ez a két erő hat észlelhető mértékben. Ekkor érdekes lehet megvizsgálni, hogy a génekre vonatkozó mutációs ráta és a fenotípusokra vonatkozó szelekciós együttható (relatív rátermettség) hogyan befolyásolja az egyensúlyt. Megfigyelhető, hogy a 0,0001 nagyságrendű mutációs ráta csak úgy tud a szelekcióval ellenkező irányú hatást kifejteni, ha a szelekciós erő igen gyenge.

Génáramlás és szelekció együttes hatása:

Tegyük fel, hogy egy populációra a többi evolúciós tényező hatása elhanyagolható. Ekkor egy nem teljesen zárt populációban megfigyelhető, hogy a génáramlás legalább olyan fontosságú a fejlődés szempontjából, mint a szelekciós erő.

Ugyanígy vizsgálható lenne a többi evolúciós hatóerő kapcsolata (elsősorban) a szelekcióval, illetve nem kettő, hanem több hatás együttes vizsgálata. Ezek helyett nézzük meg, hogy általában hogyan lehet ilyen leszármazottakat készíteni!

A leszármazottak készítésénél figyelembe kell venni azt, hogy az első leszármazottak készítésénél megadott módosításokat milyen sorrendben kell (?), lehet (?) elvégezni. Ezen sorrend megállapításában szintén a modellezettek tulajdonságaira alapozunk, a következő feltételeket kell teljesítenünk:

• Először a szülők kiválasztásával kell foglalkozni (ha bevándorlás van, akkor a szülők halmazához a bevándoroltakat is hozzávesszük)!
• Ezen belül elsődleges szempont a szülők rátermettsége (ezt kell először megvizsgálni) és másodlagos a szimpátiájuk!
• A következő feladat az átadandó gén(ek) kiválasztása. Itt kell figyelembe venni a meiotikus irányítottságot!
• Ha megvan már a kiválasztott gén, akkor vizsgáljuk meg, hogy bekövetkezett-e mutáció!

Ezek után nézzük meg azt a modellt, amely egyesíti a korábbi leszármazottakat!

Bevándorlás történhet, ezért minden generációba bevándorol M db egyed adott genotípus-eloszlásban. A három genotípusra különböző nagyságú szelekciós erő hat, megadható mindhárom relatív rátermettsége ( W1 , W2 , W3 ). Megadjuk a genotípusok szimpátiamátrixát ( SZ(3,3) a mátrix). A heterozigóták az S allélt R valószínűséggel adják tovább utódaiknak, a szaporodás során mutációk következhetnek be, az S allél P valószínűséggel, az F allél Q valószínűséggel alakul át a másik alléllá.

A szülőválasztásban vesszük figyelembe a bevándorlást, illetve a szelekciót.

A gének kiválasztása két független génválasztásból áll, amelyben a meiotikus sodródással foglalkozunk.

A gének átadása is két független génátadás, megvalósítva bennük a mutációt.

Vissza a tartalomjegyzékhez

4.6. Sokallélos alcsalád

Ebben az alcsaládban a következő feltételeket vesszük figyelembe:

• diploid genotípusokat vizsgálunk,
• a két nemet nem különböztetjük meg,
• egy lokuszban előforduló alternatív allélokat vizsgálunk.

Az alcsalád jellemzője tehát, hogy egy lokuszban sokféle allél fordulhat elő. (Az embernél az AB0-vércsoportrendszerben pl. három, de más esetekben ez lehet sokkal több is.)

A modellek objektumainak tárolásában az első alcsaládhoz képest nem lesz változás, csupán az változik, hogy az S(N,2) , U(N,2) tömbökben nem kétfajta elem lehet, hanem sokféle. Az egyes jelenségek (pl. mutáció, szelekció) paramétereinek száma azonban ettől jelentősen megváltozik.

Az alcsalád tartalmaz egy elvileg újfajta modellt is, amelyben bizonyos gaméták összeférhetetlenek, s emiatt egyes genotípusok nem alakulhatnak ki.

4.6.1. Sokallélos génkeveredés

Egy olyan populációban, amelyre semmilyen külső erő nem hat – feltételeink megegyeznek a kétallélos génkeveredés feltételeivel –, a genetikai variabilitás gyors csökkenése figyelhető meg, az allélok száma fokozatosan csökken. Ugyanazt a modellt készítsük el, mint a kétallélos génkeveredés esetén, csupán az eredményen változtassunk: az eredmény legyen a populáció allélszáma az egyes generációk során.

Az így átalakított modell használata során megfigyelhetjük, hogy ha az allélok száma a populáció egyedszámához képest nem elhanyagolható, akkor az allélszám gyors csökkenése fog bekövetkezni. Először (nagy valószínűséggel) a kis gyakoriságú allélok fognak megszűnni. Elég hosszú időt tekintve, a populációban csupán egyetlen allél fog maradni. Ebből következik, hogy a polimorfizmus az evolúciós erők hiányában megszűnik.

4.6.2. Sokallélos mutáció

A mutációt olyan erőnek tekinthetjük, amely képes a polimorfizmust fenntartani. A következő modellben a mutáció hatását vizsgáljuk.

A populáció A-féle allélt tartalmazzon! Bármelyik allél bármelyikbe mutálhat, de új allél itt sem jelenhet meg. Ebben a modellben is a populáció allélszámának változását figyeljük meg!

Felhasználjuk a kétlokuszos mutációs modellt, a génátadás eljárását fogjuk újraírni. Használni fogunk egy M(A,A) mátrixot, amely (i,j) . eleme az i . allél j . allélba való mutációjának valószínűségét tartalmazza. Az egyes allélok nevét az ANÉV(A) vektorban tároljuk, s definiálunk egy Kiválaszt nevű függvényt, amely egy allél nevéhez a sorszámát rendeli.

A mutációt tartalmazó modell működtetésével megfigyelhető, hogy kis mutációs ráták esetén az allélok átlagos száma kicsi lesz, de ekkor sem szűnik meg véglegesen egyetlen allél sem (kivéve az allélok olyan részcsoportjait, amelyekbe a többi allél nem mutálhat). Nagy mutációs ráták elég biztosítékot jelentenek a nagy variabilitás fenntartására, ekkor kisebb a sodródás jelentősége, az allélgyakoriságok a mutációs rátáknak megfelelően fognak alakulni. Mindezek alapján megállapítható, hogy a mutáció felelős a polimorfizmus kialakulásáért.

4.6.3. Tiltott allélpárok

Az eddigi modelljeinkben az utódok a szülőktől tetszőleges allélokat kaphattak, így tetszőleges allélpárok kialakulhattak. Most vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor ez nem áll fenn: bizonyos allélpárok tiltottak!

A vizsgált populációban háromféle allél fordulhat elő (A,B,C) és valamilyen mechanizmus megakadályozza a homozigóta egyedek születését. Így a populáció csak a 3 lehetséges heterozigóta genotípusú egyedekből áll. Vegyünk most is valamilyen kezdeti genotípus-eloszlást, majd vizsgáljuk meg – a külső hatóerők hiányát feltételezve –, hogy a genotípus-gyakoriságok közelítenek-e valamilyen stabil állapothoz! (Érdekes kezdőállapot például az AB=1/2, AC=1/2, BC=0 eset.)

A modell továbbra is a kétallélos génkeveredésre alapozható, de nem lehet fenntartani a két szülőtől a független génválasztást. A homozigóta allélpárok képződését kell megakadályozni. Ennek érdekében mindkét szülőt meg kell határoznunk, ki kell választani a tőlük kapott 2 allélt, s ha ezek megegyeznek (tiltott allélpár), akkor újra kell szülőket választani! (A génválasztás megismétlése kevés lenne, mert bár a fenti esetben nem, de máskor elképzelhető, hogy a két szülőtől csak tiltott allélpárt tudunk választani.)

A modell eredménye valamilyen stabil állapothoz való lassú közelítés. Egyenlő allélgyakoriságból kiindulva a stabil állapotban egyenlők a genotípus-gyakoriságok (1/3-1/3). A kezdeti allélgyakoriságok határozzák meg az egyensúlyi genotípus-gyakoriságokat.

Vissza a tartalomjegyzékhez

4.7. Kétlokuszos alcsalád

Ebben az alcsaládban a következő feltételeket vesszük figyelembe:

• diploid genotípusokat vizsgálunk,
• a két nemet nem különböztetjük meg,
• minden lokuszban két-két alternatív allél fordulhat elő.

Újdonság, hogy nem egy, hanem több lokuszt vizsgálunk. A megfigyelni kívánt jelenségek szempontjából elegendő kettő vizsgálata.

Az alcsaládban használt táblázat különbözik az előző alcsaládokban használt táblázattól: itt a két lokusz miatt a táblázatnak négy oszlopa lesz, az első két oszlopban lesz az első lokuszban levő két gén, a második kettőben pedig a második lokuszban található gének. Az objektumok kódolása:

Ebben az alcsaládban háromféle génkeveredési modellt fogunk készíteni. Mivel az öröklődés egysége a kromoszóma, ezért meg kell különböztetnünk azt az esetet, amikor a két lokusz azonos kromoszómán található és így a megfelelő gének együtt öröklődnek, valamint amikor különböző kromoszómán vannak, s így szabadon kombinálódhatnak. Harmadik esetben azonos kromoszómán találhatóak, de létezik kromoszómaszintű mutáció (crossing over), s ezért mégsem mindig öröklődnek együtt.

4.7.1. Szabad kombinálódás

Az egylokuszos génkeveredési modelleknél láthattuk, hogy az egyensúlyi genotípus-gyakoriságok külső erők hiányában egyetlen generáció alatt beállnak. Ebből az következik, hogy két lokusz esetén a lokuszonkénti genotípus-gyakoriságoknak is így kell viselkedniük. Ez azonban koránt sem teljesül, ha a két lokuszt együttesen vizsgáljuk! Modellünkben azzal az esettel fogunk foglalkozni, amikor a két lokuszban levő gének egymástól függetlenül öröklődnek (különböző kromoszómán vannak).

Hogy konkrét feladatra hivatkozhassunk, vizsgáljuk egy borsópopulációban a színek, illetve a formák öröklődését: sárga-zöld (S,Z), illetve szögletes-gömbölyű (s,g) tulajdonságokat (ez 9 genotípust jelent)! Az első lokuszban a színt meghatározó allélok fordulhatnak elő, a másodikban pedig a formát meghatározók. A szín és a forma egymástól függetlenül öröklődik.

A két szülőtől kapott gének bármilyen kombinációja előfordulhat, a két szülő választása független egymástól, ezért használhatjuk az egylokuszos génkeveredés algoritmusát azzal a módosítással, hogy mindkét lokuszról kell választani, s átadni gént!

Az egylokuszos alcsaládhoz hasonlóan a lokuszonkénti genotípus-gyakoriságok az első generációban egyensúlyi helyzetbe kerülnek. A 9 genotípus gyakorisága azonban csak hosszú idő elteltével kerül egyensúlyi állapotba. Adott létszámú populáció esetén itt sokkal nagyobb a sodródás jelentősége, mint az az egylokuszos modellben volt.

4.7.2. Kapcsolt gének

Más a helyzet, ha a két lokuszon levő gének egymástól nem függetlenül öröklődnek (azonos kromoszómán vannak). Ebben az esetben ugyanis az öröklődési mechanizmus megakadályozza az egyensúlyi állapot kialakulását. Vizsgálataink során az ilyen öröklődés menetét fogjuk modellezni. A táblázataink 1. és 3., illetve a 2. és 4. oszlopában szereplő gének legyenek azonos kromoszómán! (A genotípus-gyakoriságoknál meg kell adni, hogy az egyes gének melyik kromoszómán helyezkednek el.)

A Gének kiválasztása eljárást kell módosítani, hiszen ha a szülőtől kiválasztjuk a színt meghatározó gének közül az 1. oszlopban levőt, akkor a formást meghatározók közül kötelesek vagyunk a 3. oszlopban levőt választani!

A program használata során megfigyelhetjük, hogy a lokuszonkénti egyensúly itt is már az első generációban kialakul. A genotípus-gyakoriságokat a kromoszómákon levő génpárok gyakorisága határozza meg. A gének olyan kombinációja, amely kezdetben egyetlen egy kromoszómán sem fordult elő, a populációban sohasem fog megjelenni.

4.7.3. Rekombináció

Ritkán előfordulhat, hogy a lokuszok között „crossing over”, átkereszteződéses génkicserélődés történik. Ennek hatására hosszú idő alatt az egyensúlyi gyakoriságok mégis beállhatnak. Újabb modellünkkel ezt az esetet fogjuk vizsgálni. A rekombináció relatív gyakorisága legyen R!

Az előző modell génválasztását módosítjuk tovább, hasonlóan végezzük, de R valószínűséggel az 1. oszlophoz a 4., a 2.-hoz pedig a 3.-ban szereplő gént választjuk.

Ebben a modellben is a rekombinációs gyakoriság értékétől függ az egyensúly beállásának sebessége. R =1/2 esetén az eredmény megegyezik a szabad kombinálódás modelljével. R =0 esetén az eredmény megegyezik a kapcsolt gének modelljével. R =1 esetén az eredmény generációnként a heterozigóta genotípusokban oszcillálni fog, egyébként nagyon hasonló a kapcsolt gének modelljéhez.

Bármelyik modellt is vizsgáljuk, érdemes kiegészíteni úgy, hogy ne csak 2, hanem több lokuszt kezelhessünk. Mindegyik génhelyen előforduló gén ugyanazt a – mennyiségi – tulajdonságot befolyásolja! hatásuk legyen egyenlő és additív! Ekkor egyensúly esetén e tulajdonság megjelenése a populációban normális eloszlást fog követni.

Másik kiterjesztés esetén a szelekciót vizsgájuk több (legalább 2) populáció esetén. A populációk között megengedjük a migrációt. Változzon a szelekciós együtthatókkal figyelembe vett környezet fokozatosan az egyes populációk között, s vizsgáljuk, hogy a populációk genotípus-eloszlása is fokozatosan változik-e!

Vissza a tartalomjegyzékhez